L’eterno ritorno della sfera

Se la sfera avesse una personalità, non potremmo che definirla poliedrica. In questo articolo studieremo i suoi molteplici volti.

Fra tutti i solidi geometrici con cui siamo stati abituati a familiarizzare fin dai primi anni di scuola, la sfera svolge un ruolo d’eccezione. Per descriverne le potenzialità, non è sufficiente attribuire ad essa una definizione corredata da formule per calcolarne superficie e volume, in quanto la sfera rappresenta un concetto che affonda le sue radici nella filosofia antica e spazia fino ai giorni nostri nelle più recenti teorie scientifiche, contaminando anche la psicologia e la psicanalisi.

Già Parmenide, nel VI-V secolo a.C., aveva infatti sottolineato come la sfericità fosse un tratto distintivo dell’entità astratta che costituisce il nostro cosmo, chiamata Essere dal filosofo di Elea, elevando così l’attributo di sfericità all’idea di perfezione.

Per comprendere meglio ciò, supponiamo di porci al centro di una sfera immaginaria di raggio finito in uno spazio idealmente vuoto e di osservare in più direzioni attorno a noi; ciò che noteremmo è che tutte le direzioni sono equivalenti e che ovunque guardiamo vediamo la stessa cosa, e questo poiché la sfera è dotata di una simmetria intrinseca. La sfera è l’unico solido a possedere questa regolarità e, nell’ideologia greca trasmessasi fino ad oggi, la regolarità è associata all’armonia, che è sinonimo di bellezza e perfezione.

La sfericità parmenidea non è un unicum della filosofia antica, basti pensare all’astronomia pitagorica, in base alla quale l’Universo ha una forma sferica ed i corpi celesti, anch’essi sferici, ruotano attorno ad un fuoco centrale, producendo un suono non percepibile dall’orecchio umano; la musica prodotta da queste sfere rotanti è, nel pensiero di Pitagora, esemplificazione dell’armonia. L’elenco potrebbe continuare per molte pagine, toccando il pensiero di altri filosofi come Aristotele e Platone, i quali ritenevano che il mondo fosse racchiuso all’interno di una forma perfetta, la sfera appunto, ma anche di statisti come Cicerone, che parla di armonia sferica nel suo Sogno di Scipione. Non è dunque un caso che il pensiero moderno, che si fonda su quello antico, attribuisca alla sfera una straordinaria importanza.

Il Sistema Solare, nel quale il Sole ed i pianeti hanno forma (quasi) sferica.

Venendo a tempi più recenti, la fisica ha confermato che la sfera merita il successo che ha avuto in passato. Infatti, ogni fisico che si rispetti, di fronte ad un problema che presenti simmetria sferica, prova un certo piacere. E questo per delle buone ragioni: le sfere compaiono spesso e volentieri nella descrizione della natura! Un esempio noto è quello della nascita delle stelle. Le stelle hanno origine dalle nebulose, ammassi di gas rarefatti e polveri, che collassano per effetto della gravità. Infatti, ogni porzione di gas esercita sulle altre un’attrazione gravitazionale, e viceversa. Poiché non esiste una direzione spaziale privilegiata, e non c’è motivo per cui debba esistere, è inevitabile che il risultato del collasso gravitazionale sia la formazione di una sfera, che presenta appunto la corretta simmetria. In particolare, la configurazione d’equilibrio di una massa auto-gravitante è proprio quella sferica.

Passando ad esempi meno famosi, la fisica teorica ci insegna, in virtù del teorema di Noether, che ad ogni simmetria corrisponde una quantità fisica conservata, cioè una certa grandezza che si mantiene costante nel tempo. Come già sottolineato, la sfera ha una simmetria intrinseca, dettata dal fatto che, ponendoci al centro di essa, tutte le direzioni dello spazio sarebbero equivalenti. In termini fisici, ciò si traduce nel seguente risultato: in un problema a simmetria sferica, come il problema del moto di un elettrone attorno al nucleo atomico, possiamo affermare che una grandezza fisica, detta momento angolare, si conserva.  Per chi non ha familiarità col concetto di momento angolare, lo si può intuitivamente descrivere come una proprietà tipica di oggetti rotanti attorno ad un punto fisso, come la Terra attorno al Sole o un satellite attorno alla Terra stessa.

Non sono solo i fisici a sfruttare il successo delle sfere. Negli ultimi anni la psicologia ha introdotto quello che viene detto il Modello a Sfera della Coscienza, che descrive graficamente le esperienze della coscienza. Il centro della sfera è visto come lo spazio della coscienza prima dell’esperienza, caratterizzata da tre distinte dimensioni che sono gli assi cartesiani dello spazio tridimensionale. Passando per il centro, tali assi si dividono in otto semirette uguali ma distinte: l’asse del tempo (X) è diviso in passato e futuro; quello delle emozioni (Y) in piacevole e non piacevole; il terzo asse (Z) è una scala graduale di auto-determinazione, intesa come motivazione intrinseca. Il centro della sfera è dunque visto come uno stato di vuoto equidistante da tutti gli stress della natura.  La coscienza successivamente si espande ed entra a contatto con gli ambienti che la circondano senza che uno di essi prevalga sugli altri necessariamente.

Giunti a questo punto, se le sfere vi hanno nauseato, pensate che in matematica esiste un paradosso, detto di Banach-Tarski, il quale afferma che, sotto opportune ipotesi, è possibile prendere una sfera in uno spazio a tre dimensioni, scomporla in un numero finito di pezzi e, tramite rotazioni e traslazioni, ricostruire due sfere dello stesso raggio dell’originale. Insomma, siamo di fronte a quello che Nietzsche definirebbe l’eterno ritorno della sfera!

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