Nuove operazioni aritmetiche

Le “nuove” operazioni aritmetiche fondamentali

Somme, prodotti e potenze hanno terrorizzato per tempo quasi tutti gli studenti delle scuole elementari e medie. Ma quanti di voi sapevano che non sono le uniche operazioni aritmetiche di base?

Nel corso della mia ormai conclusa carriera da studente, uno degli atteggiamenti nei quali mi sono imbattuto con desolante frequenza è quello d’insofferenza preconcetta nei confronti della matematica. Vi sarà senz’altro capitato di sentire frasi del tipo: “Non sono interessato a questi argomenti perché non mi serviranno a niente, la matematica utile si studia alle scuole medie”. Non di rado, peraltro, queste convinzioni sono alimentate da un sistema didattico deteriore che punta sul nozionismo e fallisce nel suscitare e mantenere desto l’interesse dei discenti.

La matematica, lungi dall’essere una disciplina fossilizzata su una manciata di sterili teoremi, evolve dinamicamente per rispondere alle esigenze pratiche ed astratte di un mondo sempre più sofisticato. In questo articolo saranno illustrati sommariamente degli argomenti di recente formulazione e trascurati negli attuali programmi didattici, nonostante possano essere catalogati come “di base”.

Tetrazione

La tetrazione rappresenta la quarta operazione aritmetica fondamentale (dopo le più note somma algebrica, prodotto e potenza) e la più semplice tra le cosiddette iper-operazioni. Consiste, come suggerisce quest’ultima espressione, in una notazione compatta per rappresentare una potenza caratterizzata da una serie di esponenti piuttosto che da uno solo. La sua applicazione più rilevante è pertanto quella di rappresentare agevolmente numeri enormi, come spesso accade nel campo dell’informatica. L’operazione consiste nell’elevare la base per un esponente che si ottiene a sua volta elevandola a sé stessa un numero di volte indicato dall’indice in alto a sinistra:

Operazioni aritmetiche

 (fonte immagine e definizioni: Wikipedia; si legge: “a tetratto x” o “a torre x”)

Operazioni aritmetiche

Iperfattoriale e superfattoriale

Per iperfattoriale di un numero naturale n si intende il prodotto dei numeri interi positivi minori o uguali a tale numero, ciascuno elevato ad una potenza uguale ad esso stesso:

Di contro, il superfattoriale gode di molteplici definizioni:

  • Secondo i matematici Neil Sloane e Simon Plouffe (Encyclopedia of Integer Sequences, 1995), si definisce superfattoriale di un numero naturale n il prodotto dei numeri fattoriali dei numeri interi minori o uguali a tale numero:
  • Sfruttando l’operazione di tetrazione cui si è accennato sopra, Clifford Pickover (Keys to Infinity, 1995) ha proposto la seguente espressione:

Operazioni aritmetiche

Questi ultimi due strumenti trovano applicazione in particolare in discipline quali il calcolo della probabilità, la combinatoria ed la meccanica quantistica. Senza queste, tra le altre cose, non si sarebbe mai giunti a realizzare quei dispositivi elettronici ultra-performanti di ultima generazione che molti di noi adoperano quotidianamente.

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